Waarom is die taal U = 0^n1^n (n>=0) nie-reëlmatig?

/ / gepubliseer in Kuber sekuriteit, EITC/IS/CCTF Computational Complexity Theory Fundamentals, Pushdown-outomaties, PDA's: Pushdown Automata

Die vraag of die taal U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} gereeld is of nie, is 'n fundamentele onderwerp in die veld van rekenaarkompleksiteitsteorie, veral in die studie van formele tale en outomateorie. Om hierdie konsep te verstaan, vereis 'n goeie begrip van die definisies en eienskappe van gewone tale en die berekeningsmodelle wat hulle herken.

Gereelde tale en eindige outomatiese

Gereelde tale is 'n klas tale wat herken kan word deur eindige outomatiese, wat abstrakte masjiene is met 'n eindige aantal toestande. Hierdie tale kan ook beskryf word deur gebruik te maak van gereelde uitdrukkings en kan deur gewone grammatikas gegenereer word. Die sleutelkenmerk van gewone tale is dat hulle herken kan word deur deterministiese eindige outomatiese (DFA) of nie-deterministiese eindige outomas (NFA). 'n DFA bestaan ​​uit 'n eindige stel toestande, 'n stel invoersimbole, 'n oorgangsfunksie wat toestandsimboolpare na toestande afbeeld, 'n aanvanklike toestand en 'n stel aanvaardende toestande.

Die krag van eindige outomate word beperk deur hul eindige geheue. Hulle kan nie verder as 'n vaste getal tel nie, wat beteken dat hulle nie 'n arbitrêre aantal voorkoms van 'n spesifieke simbool kan byhou nie, tensy die getal begrens word deur die aantal toestande in die outomaat. Hierdie beperking is belangrik wanneer tale soos U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}.

Nie-reëlmatigheid van U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\}

Om te bepaal of 'n taal gereeld is, kan 'n mens die Pumping Lemma vir gewone tale gebruik. Die Pumping Lemma verskaf 'n eienskap waaraan alle gewone tale moet voldoen, en dit word dikwels gebruik om te wys dat sekere tale nie gereeld is nie deur te demonstreer dat hulle nie aan hierdie eienskap voldoen nie.

Die Pumping Lemma stel dit vir enige gewone taal L, bestaan ​​daar 'n pomplengte p \geq 1 sodanig dat enige tou s in L met lengte |s| \geq bl kan in drie dele verdeel word, s = xyz, wat aan die volgende voorwaardes voldoen:
1. |xy| \leq bl,
2. |y| \geq 1, en
3. vir almal ek \geq 0, die tou xy^iz is in L.

Om die Pumping Lemma te gebruik om dit te wys U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} nie gereeld is nie, aanvaar ter wille van weerspreking dat U is gereeld. Dan is daar 'n pomplengte p sodanig dat enige tou s in U met |s| \geq bl kan in dele verdeel word x, y, z voldoen aan die voorwaardes van die Pomp Lemma.

Oorweeg die tou s = 0^p1^p in U. Volgens die Pumping Lemma, s verdeel kan word in x, y, z sodat |xy| \leq bl en |y| \geq 1. sedert |xy| \leq bl, die substring y bestaan ​​slegs uit 0'e. Dus, x = 0^a, y = 0^b, en z = 0^{pab}1^p waar 1 \leq b \leq p.

Kyk nou na die tou xy^2z = 0^a0^{2b}0^{pab}1^p = 0^{p+b}1^p. Die aantal 0'e is p + b, wat groter is as p, terwyl die aantal 1e oorbly p. daarom, xy^2z \notin U omdat die getalle van 0'e en 1'e nie gelyk is nie. Hierdie teenstrydigheid toon dat die aanname dat U is gereeld is vals. Vandaar, U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} is nie 'n gewone taal nie.

Konteksvrye tale en afdruk-outomatiese

Die taal U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} is egter 'n konteksvrye taal (CFL). Konteksvrye tale word herken deur pushdown automata (PDA), wat kragtiger is as eindige outomate omdat hulle 'n stapel kan gebruik om 'n onbeperkte hoeveelheid inligting te stoor. Hierdie bykomende geheue laat PDA's toe om tred te hou met die aantal 0'e en 1'e in die taal U.

N PDA vir U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} werk soos volg:
1. Dit begin in 'n aanvanklike toestand en lees 0'e vanaf die invoer, en druk elke 0 op die stapel.
2. By die lees van die eerste 1 gaan dit oor na 'n nuwe toestand en begin 0'e uit die stapel spring vir elke 1 wat vanaf die invoer gelees word.
3. As die stapel leeg is wanneer die invoer uitgeput is, aanvaar die PDA die invoer, wat aandui dat die aantal 0'e ooreenstem met die aantal 1'e.

Hierdie meganisme om 'n stapel te gebruik om die aantal 0'e en 1'e te pas, demonstreer die vermoë van PDA's om tale te herken wat nie gereeld is nie, maar konteksvry is.

Voorbeelde en verdere implikasies

Oorweeg die voorbeeldstring s = 000111 uit die taal U. 'n PDA sal hierdie string verwerk deur elke 0 op die stapel te druk terwyl dit hulle lees. Nadat die drie 0'e gelees is, sal die stapel drie simbole bevat wat elk 'n 0 verteenwoordig. Soos die PDA die daaropvolgende 1'e lees, verskyn dit een simbool uit die stapel vir elke 1. Wanneer die invoer volledig gelees is, is die stapel leeg, wat aandui dat die insette aanvaar word.

Daarteenoor sal 'n eindige outomaat nie in staat wees om tred te hou met die aantal 0'e en 1'e nie, aangesien dit nie die stapelmeganisme het nie. Sonder die vermoë om 'n onbeperkte aantal simbole te stoor en te herwin, kan 'n eindige outomaat nie verseker dat die aantal 0'e gelyk is aan die aantal 1'e nie, wat lei tot sy onvermoë om die taal te herken U.

Die onderskeid tussen gewone en konteksvrye tale is belangrik in teoretiese rekenaarwetenskap en het praktiese implikasies in areas soos programmeertaalontwerp en -ontleding. Konteksvrye grammatikas, wat konteksvrye tale genereer, word wyd gebruik in die definisie van die sintaksis van programmeertale. Die vermoë om konteksvrye tale doeltreffend te herken deur PDA's te gebruik, ondersteun die ontwikkeling van ontleders wat fundamenteel is vir samestellers en tolke.

Die nie-reëlmatigheid van U = \{0^n1^n \mid n \geq 0\} onderstreep die beperkinge van eindige outomata en beklemtoon die noodsaaklikheid van kragtiger berekeningsmodelle soos pushdown-outomas om 'n breër klas tale te herken. Hierdie onderskeid is nie bloot teoreties nie, maar het diepgaande implikasies in die praktiese ontwerp en implementering van programmeertale en die gereedskap wat dit verwerk.

Ander onlangse vrae en antwoorde t.o.v EITC/IS/CCTF Computational Complexity Theory Fundamentals:

Sien meer vrae en antwoorde in EITC/IS/CCTF Computational Complexity Theory Fundamentals

Meer vrae en antwoorde:

Gemerk onder: , , , , ,