Kan die NP-klas gelyk wees aan die EXPTIME-klas?
Die vraag of die NP-klas gelyk kan wees aan die EXPTIME-klas, delf in die grondliggende aspekte van berekeningskompleksiteitsteorie. Om hierdie navraag volledig aan te spreek, is dit noodsaaklik om die definisies en eienskappe van hierdie kompleksiteitsklasse, die verwantskappe tussen hulle en die implikasies van so 'n gelykheid te verstaan.
Definisies en Eienskappe
NP (Nieterministiese Polinomiese Tyd):
Die klas NP bestaan uit besluiteprobleme waarvoor 'n gegewe oplossing as korrek of verkeerd in polinoomtyd deur 'n deterministiese Turing-masjien geverifieer kan word. Formeel is 'n taal ( L ) in NP as daar 'n polinoom-tyd verifieerder ( V ) en 'n polinoom ( p ) bestaan sodat daar vir elke string ( x in L ), 'n sertifikaat ( y ) met ( |y| leq p(|x|) ) en ( V(x, y) = 1 ).
EXPTIME (Eksponensiële Tyd):
Die klas EXPTIME sluit besluitprobleme in wat deur 'n deterministiese Turing-masjien in eksponensiële tyd opgelos kan word. Formeel is 'n taal ( L ) in EXPTIME as daar 'n deterministiese Turing-masjien ( M ) en 'n konstante ( k ) bestaan sodat vir elke string ( x in L ), ( M ) besluit ( x ) in tyd ( O(2) ^{n^k}) ), waar ( n ) die lengte van ( x ) is.
Verwantskap tussen NP en EXPTIME
Om te analiseer of NP gelyk aan EXPTIME kan wees, moet ons die bekende verwantskappe tussen hierdie klasse en die implikasies van so 'n gelykheid oorweeg.
1. Insluiting:
Dit is bekend dat NP binne EXPTIME vervat is. Dit is omdat enige probleem wat in polinoomtyd (soos in NP) geverifieer kan word, ook in eksponensiële tyd opgelos kan word. Spesifiek, 'n nie-deterministiese polinoom-tyd-algoritme kan deur 'n deterministiese eksponensiële-tyd-algoritme gesimuleer word. Daarom, (teks{NP} subseteq teks{EXPTIME}).
2. skeiding:
Die wydverspreide geloof in kompleksiteitsteorie is dat NP streng in EXPTIME vervat is, dit wil sê (teks{NP} subsetneq teks{EXPTIME}). Hierdie oortuiging spruit uit die feit dat NP-probleme oplosbaar is in nie-deterministiese polinoomtyd, wat algemeen beskou word as 'n kleiner klas as die probleme wat in deterministiese eksponensiële tyd oplosbaar is.
Implikasies van NP = EXPTIME
As NP gelyk is aan EXPTIME, sou dit verskeie diepgaande gevolge vir ons begrip van berekeningskompleksiteit impliseer:
1. Polinoom vs. Eksponensiële Tyd:
'n Gelykheid ( teks{NP} = teks{EXPTIME} ) sou voorstel dat elke probleem wat in eksponensiële tyd opgelos kan word, ook in polinoomtyd geverifieer kan word. Dit sou impliseer dat baie probleme wat tans gedink word om eksponensiële tyd te vereis, eerder in polinoomtyd geverifieer (en dus moontlik opgelos kan word) kan word, wat die huidige oortuigings in kompleksiteitsteorie weerspreek.
2. Ineenstorting van kompleksiteitsklasse:
As NP gelyk was aan EXPTIME, sou dit ook 'n ineenstorting van verskeie kompleksiteitsklasse impliseer. Dit sou byvoorbeeld impliseer dat ( teks{P} = teks{NP} ), as NP-volledige probleme in polinoomtyd oplosbaar sou wees. Dit sou verder impliseer dat ( teks{P} = teks{PSPASIE} ), en moontlik lei tot 'n ineenstorting van die polinoomhiërargie.
Voorbeelde en verdere oorwegings
Om die implikasies te illustreer, oorweeg die volgende voorbeelde:
1. SAT (Bevredigingsprobleem):
SAT is 'n bekende NP-volledige probleem. As NP gelyk was aan EXPTIME, sou dit impliseer dat SAT in deterministiese eksponensiële tyd opgelos kan word. Meer betekenisvol, dit sou impliseer dat SAT in polinoomtyd geverifieer kan word en dus in polinoomtyd opgelos kan word, wat lei tot ( teks{P} = teks{NP} ).
2. Skaak:
Die probleem om te bepaal of 'n speler 'n wenstrategie in 'n gegewe skaakposisie het, is bekend dat dit in EXPTIME is. As NP gelyk was aan EXPTIME, sou dit impliseer dat so 'n probleem in polinoomtyd geverifieer kan word, wat tans nie geglo word moontlik te wees nie.
Gevolgtrekking
Die vraag of die NP-klas gelyk kan wees aan die EXPTIME-klas is 'n beduidende een in die berekeningskompleksiteitsteorie. Gebaseer op huidige kennis, word geglo dat NP streng binne EXPTIME vervat word. Die implikasies daarvan dat NP gelyk is aan EXPTIME sal diepgaande wees, wat lei tot 'n ineenstorting van verskeie kompleksiteitsklasse en ons huidige begrip van polinoom versus eksponensiële tyd uitdaag.
Ander onlangse vrae en antwoorde t.o.v Kompleksiteit:
- Is PSPACE-klas nie gelyk aan die EXPSPACE-klas nie?
- Is P-kompleksiteitsklas 'n subset van PSPACE-klas?
- Kan ons bewys dat Np en P-klas dieselfde is deur 'n doeltreffende polinoomoplossing vir enige NP-volledige probleem op 'n deterministiese TM te vind?
- Is daar probleme in PSPACE waarvoor daar geen bekende NP-algoritme is nie?
- Kan 'n SAT-probleem 'n volledige NP-probleem wees?
- Kan 'n probleem in NP-kompleksiteitsklas wees as daar 'n nie-deterministiese draaimasjien is wat dit in polinoomtyd sal oplos
- NP is die klas tale wat polinoomtydverifieerders het
- Is P en NP eintlik dieselfde kompleksiteitsklas?
- Is elke konteks vrye taal in die P-kompleksiteitsklas?
- Is daar 'n teenstrydigheid tussen die definisie van NP as 'n klas besluiteprobleme met polinoom-tyd-verifieerders en die feit dat probleme in die klas P ook polinoom-tyd-verifieerders het?
Sien meer vrae en antwoorde in Complexity